Лекция 2. Полярные координаты, ориентирующие углы, геодезические задачи, номенклатура

Конспект лекции курса «Геодезия с основами космоаэросъёмки» (МГУ, геофак, доц. А.И. Прасолова).

Где это в общей картине

Конспект второй лекции курса «Геодезия с основами космоаэросъёмки» (лектор — доцент кафедры картографии и геоинформатики географического факультета А. И. Прасолова).

Сквозная логика курса — движение «форма Земли → системы координат → топографическая карта → съёмка». После знакомства с формой Земли и общими системами координат (географические координаты, плоские прямоугольные координаты в зоне проекции Гаусса) лекция № 2 переходит к рабочим инструментам измерений и вычислений. Сначала вводятся полярные (топоцентрические) координаты: как задать положение точки относительно точки местности, где стоит наблюдатель или прибор, — это «язык» любой полевой съёмки, где измеряют угол и расстояние. Затем рассматриваются ориентирующие углы — дирекционный угол, истинный и магнитный азимуты — и поправки перехода между ними (гауссово сближение меридианов γ и склонение магнитной стрелки D), а также прямая и обратная геодезические задачи, которые связывают измеренные направления и расстояния с приращениями прямоугольных координат. Завершает лекцию «картографический» блок: разграфка и номенклатура топографических карт, то есть система «адресов» отдельных листов многолистной карты.

Этот материал напрямую подпитывает практические занятия: вычисления с ориентирующими углами и прямая/обратная геодезические задачи лежат в основе семинаров «координаты и ориентирующие углы» и вычислений «теодолитного хода» (в ходе измеряются именно углы и длины, которые затем пересчитываются в приращения координат), а разграфка листов — содержание семинара «номенклатура карт». Далее курс переходит от математической основы листа карты к его содержанию: рельефу (тема «рельеф и нивелирование»), условным знакам и собственно съёмке местности.

Полярные (топоцентрические) координаты

Общие системы координат «привязаны» к Земле в целом (к глобусу или к зоне проекции) и задают положение точки в единой для всей территории сети. Но измерения на местности всегда локальны: наблюдатель стоит в конкретной точке и отсчитывает направление и расстояние до других точек. Для этого вводятся топоцентрические координаты — координаты, начало отсчёта которых находится в точке местности (в точке стояния). Начало отсчёта на схеме обозначено буквой S.

Частный случай топоцентрических координат — полярные координаты: положение точки задаётся двумя величинами — радиус-вектором S (расстоянием от начала отсчёта до точки) и углом направления A, который отсчитывается от некоторого начального направления до направления на точку. Единицы исчисления естественны для полевых измерений: метры (расстояние) и градусы (угол).

Ориентирующие углы

Угол направления A сам по себе неоднозначен, пока не сказано, от какого «северного» направления его отсчитывать. На практике таких направлений три: северное направление вертикальной линии прямоугольной координатной сетки (параллельной осевому меридиану зоны), северное направление истинного (географического) меридиана точки и северное направление магнитного меридиана точки (направление свободно подвешенной магнитной стрелки компаса). Каждому начальному направлению соответствует свой ориентирующий угол:

• α — дирекционный угол: угол между северным направлением линии сетки и направлением на объект;
• Aи — истинный азимут: угол между северным направлением истинного меридиана точки и направлением на объект;
• Aм — магнитный азимут: угол между северным направлением магнитного меридиана точки и направлением на объект.

Все ориентирующие углы отсчитываются от начального направления по часовой стрелке и могут принимать значения от 0° до 360°.

Гауссово сближение меридианов

Истинный меридиан точки и вертикальные линии прямоугольной координатной сетки в общем случае не параллельны: меридианы сходятся к полюсу, а линии зональной сетки параллельны осевому меридиану зоны. Угол между меридианом точки и вертикальными линиями прямоугольной координатной сетки называется гауссовым сближением меридианов и обозначается γ. Он вычисляется по формуле:

\gamma = (L - L_0)\sin B,

где L — долгота точки, L_0 — долгота осевого меридиана зоны, B — широта точки. Сближение равно нулю на осевом меридиане и растёт к краям зоны.

Склонение магнитной стрелки

Направление магнитного меридиана точки (то есть направление магнитной стрелки) тоже не совпадает с истинным меридианом. Склонение магнитной стрелки (магнитное склонение) D — это угол между северными направлениями истинного и магнитного меридианов.

Магнитное склонение непостоянно — оно меняется как в пространстве, так и во времени, поэтому при работе с картами склонение пересчитывают на год использования. На слайде приведён пример такого пересчёта: с момента исходных данных (1978 г.) до 2026 г. прошло лет: 48 (2026 − 1978); изменение склонения: −48′; склонение на 2026 год: 4°12′. Показательно, что и знак, и величина поправки существенны: даже небольшая ошибка в склонении при больших расстояниях заметно смещает точку.

Причину изменчивости иллюстрирует карта «Магнитные полюса Земли» (автор — А. И. Дьяченко, 2003): магнитные полюса Земли не совпадают с географическими и со временем перемещаются, поэтому магнитное поле (а вместе с ним и склонение в каждой точке) непрерывно меняется. Источник данных для расчётов и карт магнитного поля — сервис Национального центра геофизических данных США: http://www.ngdc.noaa.gov/geomag-web/.

Переходы между ориентирующими углами

Поскольку все три северных направления связаны углами γ и D, любой ориентирующий угол можно пересчитать в любой другой. Формулы перехода, приведённые на лекции:

A_\text{и} = \alpha + \gamma,

A_\text{и} = A_\text{м} + D.

Первая связывает истинный азимут с дирекционным углом через гауссово сближение меридианов, вторая — истинный азимут с магнитным через склонение магнитной стрелки. На слайде формулы даны в общем виде; на практике γ и D входят со своим знаком (восточное/западное сближение и склонение).

Так как угол направления в полярных координатах может отсчитываться от любого из северных направлений, полярные координаты точки можно задавать разными парами «угол и расстояние»: Aи и расстояние, Aм и расстояние, α и расстояние, а также ПУ и расстояние (обозначение ПУ на слайде не расшифровано). Выбор пары зависит от того, что измеряется на местности (по компасу, по карте или по сетке) и что нужно для дальнейших вычислений.

Связь полярных и прямоугольных координат: прямая и обратная геодезические задачи

Измерения на местности дают полярные координаты (углы и расстояния), а координаты точек обычно нужны в прямоугольной системе X, Y (например, для построения плана). Переход между этими двумя способами задания положения точек выполняется через прямую и обратную геодезические задачи.

Прямая геодезическая задача — по известным полярным величинам (расстоянию S_{1-2} и дирекционному углу \alpha_{1-2} направления с точки 1 на точку 2) найти приращения прямоугольных координат. Из прямоугольного треугольника:

\Delta X_{1-2} = S_{1-2}\cos\alpha_{1-2},

\Delta Y_{1-2} = S_{1-2}\sin\alpha_{1-2}.

Обратная геодезическая задача — по известным прямоугольным координатам точек 1 и 2 (то есть по приращениям \Delta X_{1-2} = X_2 - X_1 и \Delta Y_{1-2} = Y_2 - Y_1) найти расстояние между ними и дирекционный угол направления. Из того же прямоугольного треугольника:

S_{1-2} = \sqrt{(\Delta X_{1-2})^2 + (\Delta Y_{1-2})^2},

\alpha_{1-2} = \mathrm{arctg}\frac{\Delta Y_{1-2}}{\Delta X_{1-2}}.

Разграфка и номенклатура топографических карт

Топографическая карта на большую территорию — многолистная: она состоит из множества отдельных листов. Чтобы однозначно знать, где какой лист находится и как его обозначить, нужны два понятия:

• разграфка карты — система деления многолистной карты на листы;
• номенклатура карт — система обозначения (нумерации) отдельных листов многолистной карты.

Разграфка начинается с карты масштаба 1:1 000 000. Лист миллионной карты имеет размер рамки 4° по широте и 6° по долготе, поэтому вся разграфка строится на делении земной поверхности параллелями и меридианами на ряды (по 4°) и колонны (по 6°). Ряды (по широте) обозначаются заглавными латинскими буквами, колонны (по долготе) нумеруются арабскими цифрами; нумерация колонн начинается от меридиана 180°. Номенклатура листа миллионной карты составляется из буквы ряда и номера колонны — например, лист N-36 (здесь N — буква ряда, 36 — номер колонны).

Деление листа 1:1 000 000

Все более крупные масштабы получаются последовательным делением листа миллионной карты. Лист 1:1 000 000 (пример — N-36, размер рамки ΔB = 4°, ΔL = 6°) делится:

• на листы 1:500 000 — 4 части, обозначаемые заглавными русскими буквами А, Б, В, Г; номенклатура — N-36-Г; размер рамки ΔB = 2°, ΔL = 3°;
• на листы 1:200 000 — 36 частей, обозначаемые римскими цифрами I–XXXVI; номенклатура — N-36-XII; размер рамки ΔB = 0°40′, ΔL = 1°;
• на листы 1:100 000 — 144 части, обозначаемые арабскими цифрами 1–144; номенклатура — N-36-12; размер рамки ΔB = 0°20′, ΔL = 0°30′.

Деление листа 1:100 000

Лист масштаба 1:100 000 (пример — N-36-12, ΔB = 0°20′, ΔL = 0°30′) в свою очередь делится на 4 части — листы 1:50 000, обозначаемые заглавными русскими буквами А, Б, В, Г; номенклатура — N-36-12-Г, размер рамки ΔB = 0°10′, ΔL = 0°15′. Каждый лист 1:50 000 делится на 4 листа 1:25 000, обозначаемые строчными русскими буквами а, б, в, г; номенклатура — N-36-12-Б-г, размер рамки ΔB = 0°05′, ΔL = 0°07′30″. Наконец, каждый лист 1:25 000 делится на 4 листа 1:10 000, обозначаемые арабскими цифрами 1, 2, 3, 4; номенклатура — N-36-12-Б-б-2, размер рамки ΔB = 0°02′30″, ΔL = 0°03′45″.

Получается сквозная иерархия номенклатур, в которой «адрес» листа последовательно уточняется справа налево: сначала буква и номер листа миллионной карты, затем — по одному обозначению на каждый шаг деления (заглавная буква, римская цифра или номер — для масштабов от 1:500 000 до 1:100 000, затем снова заглавная буква, строчная буква и цифра — внутри листа 1:100 000). Сводка размеров рамок листов всех рассмотренных масштабов:

← все материалы