Лекция 5. Измерение длин линий. Нивелирование
Лекция 5. Измерение длин линий на местности. Определение высот точек (нивелирование)
Курс «Геодезия с основами космоаэросъёмки» (географический факультет МГУ). Лектор — доцент кафедры картографии и геоинформатики Прасолова Анна Ивановна.
Где это в общей картине
В курсе выстроена логическая цепочка «форма Земли → координаты → карты → съёмка»: сначала мы задали модель Земли (фигура, уровенные поверхности), затем научились описывать положение точек в системах координат и связывать измеренные направления с осями этих систем через ориентирующие углы, потом перешли к картографическим проекциям и разграфке листов (номенклатура карт) и к правилам изображения объектов местности (условные знаки). Но никакая карта или план не может быть построена, пока не измерена сама местность: плановые координаты и высоты точек получают не из теории, а из полевых измерений трёх величин — углов, длин линий и превышений. Настоящая лекция посвящена двум последним группам: сначала — как измеряют длины линий (непосредственно и косвенно), затем — как определяют высоты точек, то есть нивелированию.
С практической точки зрения материал лекции — то «сырьё», которое обрабатывается на семинарах: измеренные длины вместе с углами дают приращения координат и позволяют вычислить и увязать теодолитный ход (понятия фактической и допустимой невязки и её распределения, вводимые в лекции для высотных ходов, работают точно так же и в плановых ходах), а ориентирующие углы переводят измеренные направления в систему координат. Из наклонных длин выделяют горизонтальное проложение — именно оно откладывается на плане в выбранном масштабе и в рамках листа нужной номенклатуры. Превышения и высоты точек — основа изображения рельефа горизонталями (тема семинара «Рельеф и нивелирование»), а рельеф и ситуация в совокупности изображаются условными знаками. Так лекция замыкает «измерительный» блок курса: она даёт полевые данные, на которых строятся карты, планы и дальнейшие съёмки (в том числе с использованием космоаэросъёмки для контроля и обновления).
Измерение длин линий на местности
Измеряемая линия на местности, как правило, идёт по наклонной поверхности, поэтому в геодезии различают две величины: измеренную (наклонную) длину S и горизонтальное проложение L — проекцию линии на горизонтальную плоскость. Именно горизонтальное проложение входит в формулы вычисления координат и откладывается на плане. Если угол наклона линии к горизонту равен v, то
L = S \cos v.
Непосредственный способ
Непосредственный способ — измерение длин механическими линейными приборами: мерными лентами, рулетками, проволоками. В полевой практике применяются землемерные ленты и рулетки. Точность таких измерений составляет 1/1000 – 1/3000. При промере по наклонной местности измеренную длину S приводят к горизонту по формуле L = S \cos v.
Косвенный способ
При косвенном способе длину не откладывают по местности, а вычисляют по другим измеренным величинам. Способ распадается на два направления:
- длина определяется как функция установленных геометрических соотношений — это оптические дальномеры, а также аналитические вычисления по измеренным углам и базисам (например, определение неприступного расстояния);
- длина определяется как функция установленных физических соотношений — это светодальномеры и радиодальномеры (скорость и время распространения электромагнитного сигнала).
Оптический дальномер
В основу оптического дальномера положено решение равнобедренного треугольника (так называемого параллактического треугольника). В вершине треугольника находится прибор, а в точке, до которой измеряется расстояние, — базис (база) В; угол при вершине прибора называется параллактическим углом β. Из решения треугольника
L = \frac{B}{2}\,\operatorname{ctg}\frac{\beta}{2}.
Оптические дальномеры делятся на два типа:
- с постоянным базисом — базис (рейка постоянной длины) фиксирован, по расстоянию меняется измеряемый параллактический угол β;
- с постоянным углом (нитяной) — параллактический угол постоянен (образован дальномерными нитями), а по рейке, стоящей в точке цели, отсчитывается отрезок, длина которого растёт с расстоянием.
Нитяной дальномер
Нитяной дальномер не является самостоятельным прибором: он совмещается с другими приборами — теодолитом, нивелиром и т. п. В сетке нитей зрительной трубы два дальномерных штриха наносятся симметрично осевому. Визируя на рейку, наблюдатель берёт отсчёты X и Y по двум дальномерным нитям; разность отсчётов пропорциональна расстоянию:
S\,[\text{мм}] = (X - Y)\,[\text{мм}] \cdot 100,
где 100 — коэффициент дальномера. Практическое правило: каждый сантиметр, отсчитанный по рейке, равен 1 метру расстояния, поэтому при отсчётах в миллиметрах удобно пользоваться формулой
L\,(\text{м}) = \frac{X - Y}{10}.
Пример: если по дальномерным нитям получены отсчёты X = 1418 и Y = 1287 (мм), то X − Y = 131 мм, и L = 131\ \text{мм} \cdot 100 = 13\,100\ \text{мм} = 13{,}1\ \text{м}.
Точность нитяного дальномера — 1 : 400, но не выше 10 см независимо от длины линии (то есть 10 см — практически предел точности этого метода даже на коротких расстояниях).
Основные источники погрешностей нитяного дальномера:
- наклон рейки;
- толщина сетки нитей;
- неточности отсчитывания по дальномерным нитям;
- неблагоприятные атмосферные условия.
Косвенные измерения: определение неприступного расстояния
Если расстояние до точки нельзя измерить непосредственно (например, оно пересекает препятствие), его вычисляют аналитически — по измеренным углам и базисам. На местности разбивают треугольники: измеряют базисы L1 и L2 и прилежащие к ним углы β1, β2 и β3, β4; угол при искомой (неприступной) вершине каждого треугольника равен 180^\circ - \beta_1 - \beta_2 (для первого) и 180^\circ - \beta_3 - \beta_4 (для второго). Тогда по теореме синусов (стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов):
L_3 = \frac{\sin \beta_1 \cdot L_1}{\sin(180^\circ - \beta_1 - \beta_2)},
L_3 = \frac{\sin \beta_4 \cdot L_2}{\sin(180^\circ - \beta_3 - \beta_4)}.
Вторая формула даёт контрольное (повторное) определение того же расстояния.
Светодальномеры
Принцип светодальномеров — вычисление расстояния между двумя точками как функции времени прохождения этого расстояния электромагнитным сигналом. Если сигнал распространяется со скоростью v в течение времени t, то пройденный путь равен L = v t; так как в дальномере сигнал, отразившись от цели, проходит расстояние дважды (туда и обратно), искомое расстояние составляет
L = \frac{v t}{2}.
Точность светодальномеров — 1/500 000 и выше.
Отдельно выделяются свето- и лазерные дальномеры с точностью 1/5 000 и выше.
Определение высот точек местности (нивелирование)
Совокупность работ по измерению превышений называется нивелированием. Превышение — разность высот двух точек, поэтому, зная высоту исходной точки и измеренные превышения, последовательно получают высоты всех точек. Применяется несколько способов нивелирования:
- геометрическое;
- тригонометрическое;
- барометрическое;
- гидростатическое;
- и др.
Геометрическое нивелирование
Геометрическое нивелирование выполняется прибором, который называется нивелиром, — геодезическим прибором для определения превышений с помощью горизонтального визирного луча. Нивелиры классифицируют:
- по точности: высокоточные, точные, технические;
- по способу приведения визирной оси в горизонтальное положение: с уровнем при зрительной трубе; с компенсатором.
У нивелира с компенсатором визирная ось приводится в горизонтальное положение автоматически. Главное условие нивелира: горизонтальность визирной оси в пределах углов стабилизации компенсатора.
Погрешности при геометрическом нивелировании:
- погрешность главного условия нивелира;
- влияние рефракции;
- кривизна земной поверхности;
- наклон реек относительно отвесной линии;
- погрешность аппроксимации отсчётов по рейкам.
Чтобы суммарная погрешность была минимальной, применяют метод нивелирования из середины: ошибки, пропорциональные расстоянию от нивелира до рейки (кривизна Земли, рефракция, несоблюдение главного условия), входят в отсчёты по задней и передней рейкам одинаково и при равных плечах взаимно исключаются при вычислении превышения.
На каждой станции хода нивелир устанавливают между двумя рейками так, чтобы заднее плечо (ЗП) и переднее плечо (ПП) были равны: ЗП = ПП. Отсчёт по задней рейке (стоящей на пройденной точке) обозначают З, по передней (на определяемой точке) — П. Превышение на первой станции
h_1 = З_1 - П_1.
Рейка, бывшая на станции передней, на следующей станции становится задней; так ход наращивается от станции к станции (1-я, 2-я, 3-я …). Высота конечной точки хода равна высоте начальной плюс сумма всех превышений:
H_B = H_A + \sum h.
Тригонометрическое нивелирование
В тригонометрическом нивелировании превышение вычисляется по измеренному углу наклона ν и расстоянию до точки (обычно по наклонной длине S, полученной дальномером). Общая формула превышения:
h = L \cdot \operatorname{tg} \nu + i - U + f,
где L — горизонтальное проложение, ν — угол наклона, i — высота инструмента, U — отсчёт (высота визирования) по рейке, f — поправка за кривизну Земли и рефракцию. Поправка f применяется при расстояниях свыше 300 м.
В случае использования нитяного дальномера (когда измерена наклонная длина S) превышение вычисляется по формуле
h = (0{,}5 \cdot S \cdot \sin 2\nu) + i - U + f.
Горизонтальное проложение при этом получают из наклонной длины по формуле
L = S \cos^2 \nu.
Уравнивание нивелирных ходов
Невязку хода (расхождение измеренных превышений с теоретически ожидаемыми) сравнивают с допустимой.
Допустимая невязка геометрического нивелирования:
f_{\text{доп}} = \pm D\,(\text{мм})\sqrt{L\,(\text{км})}\ (\text{мм}),
где L — длина хода, D — число, определяющее точность (класс) нивелирования:
- 1-й класс — 3 мм;
- 2-й класс — 5 мм;
- 3-й класс — 10 мм;
- 4-й класс — 20 мм.
Допустимая невязка тригонометрического нивелирования:
f_{\text{доп}} = \pm 0{,}04\,\frac{P}{100}\sqrt{n}\ (\text{м}),
где P — длина хода (м), n — число станций (постановок теодолита).
Фактическая невязка вычисляется из самих измерений:
- для замкнутого высотного хода — как сумма измеренных превышений:
f_h = \sum h_i;
- для разомкнутого высотного хода — как сумма измеренных превышений минус известная разность высот конечной и начальной точек:
f_h = \sum h_i - (H_{\text{кон}} - H_{\text{нач}}).
Уравнивание (распределение полученной невязки по ходу) осуществляется разными методами: пропорционально длине плеч, методом «красных чисел».
Барометрическое нивелирование
Барометрическое нивелирование позволяет находить превышение между точками по разности атмосферного давления в них. Атмосферное давление зависит от широты точки, состояния атмосферы (температура и влажность воздуха) и высоты, поэтому по разности давлений судят о разности высот.
Для повышения точности измерений прокладывают замкнутые барометрические ходы или используют параллельные измерения на стационарной точке (чтобы исключить изменения давления во времени). Атмосферное давление измеряют с помощью микробарометров, которые бывают оптическими или электронными.
На практике давление, измеренное микробарометрами, чаще всего переводят в высоты с помощью специальных таблиц или калькуляторов; применяются формулы Лапласа, Бабине, Певцова и др.
Точность измерения превышений путём барометрического нивелирования:
- 3–5 м — для оптических микробарометров;
- ≈ 10 см — для электронных.