Лекция 6. Измерение углов. Теодолит. Плановые координаты точек

Конспект лекции курса «Геодезия с основами космоаэросъёмки» (МГУ, геофак, доц. А.И. Прасолова).

Лекция 6. Измерение углов на местности. Теодолит. Определение плановых координат точек местности

Где это в общей картине

К этому моменту курса мы уже разобрались с фигурой и размерами Земли, системами координат, перешли к картам и их математической основе. Теперь курс поворачивает от теории координат к их практическому получению на местности: вся съёмка и любая карта опираются на геодезическую (плановую) основу — совокупность точек с известными плановыми координатами. Именно этой основе и посвящена лекция: мы учимся измерять углы на местности теодолитом и определять плановые координаты точек с помощью геодезических построений — триангуляции, засечек, теодолитных ходов и трилатерации.

Лекция тесно связана с практическими темами семинаров. Вычисления дирекционных углов и приращений, прямая и обратная геодезическая задача, разобранные здесь (в триангуляции и засечках), — это тема «координаты и ориентирующие углы». Теодолитный ход — отдельная тема семинара «теодолитный ход»: здесь закладываются формулы угловых невязок, дирекционных углов и увязки приращений, которые затем отрабатываются в задачах. Измерение вертикальных углов и вертикального круга — мостик к теме высот и «рельеф и нивелирование» (высотная основа, в отличие от плановой, строится нивелированием). Наконец, полученная плановая основа и сама съёмка в дальнейшем будут отображены на картах по «условным знакам», а разграфка листов карт («номенклатура карт») привязывается к этой же геодезической сети.

1. Измерение углов на местности. Назначение теодолита

Для измерения горизонтальных и вертикальных углов на местности служат теодолиты.

2. Устройство теодолита

Основные узлы

У теодолита выделяют четыре основные группы узлов:

• угловые рабочие меры (горизонтальный и вертикальный круги);
• ориентирующее устройство;
• осевая система;
• отсчётные устройства.

Сетка нитей

Сетка нитей — это система штрихов, нанесённых на стеклянной пластинке. Двойной вертикальный штрих называется биссектором нитей. Точка пересечения основных штрихов — перекрестие сетки нитей.

Визирная ось и линия визирования

• Визирная ось трубы — воображаемая линия, соединяющая перекрестие сетки нитей и оптический центр объектива.
• Линия визирования — продолжение визирной оси до наблюдаемой цели.

Угловые рабочие меры

Угловые рабочие меры (круги) располагаются в двух взаимно перпендикулярных плоскостях — плоскости горизонтального круга и плоскости вертикального круга.

Цилиндрический уровень служит для приведения оси вращения алидады в отвесное положение, а плоскости горизонтального круга — в горизонтальное положение.

Осевая система

Осевую систему образуют:

• ось вращения алидады;
• ось вращения зрительной трубы;
• визирная ось зрительной трубы;
• вертикальный круг;
• горизонтальный круг.

Основные геометрические условия

Чтобы измерения были корректны, конструкция теодолита должна удовлетворять трём основным геометрическим условиям:

1. Визирная ось зрительной трубы должна быть перпендикулярна оси вращения зрительной трубы.
2. Ось вращения зрительной трубы должна быть перпендикулярна оси вращения алидады.
3. Ось цилиндрического уровня должна быть перпендикулярна оси вращения алидады.

3. Поверки теодолита

Проверка соблюдения геометрических условий называется поверкой. Выполняют следующие поверки:

1. Поверка цилиндрического уровня. Условие: «Ось цилиндрического уровня должна быть перпендикулярна оси вращения алидады».
2. Поверка положения коллимационной плоскости. Условие: «Визирная ось зрительной трубы должна быть перпендикулярна оси вращения зрительной трубы». Нарушение этого условия характеризуется коллимационной погрешностью — углом между фактическим положением визирной оси и плоскостью, перпендикулярной к оси вращения зрительной трубы.
3. Поверка положения горизонтальной оси теодолита.
4. Поверка сетки нитей.

4. Измерение углов теодолитом

Порядок измерения угла включает три этапа:

1. Установка прибора над точкой измерений и приведение его в рабочее состояние — центрирование и горизонтирование.
2. Наведение сетки нитей зрительной трубы на цели с использованием коллиматора, закрепительных и наводящих винтов зрительной трубы и алидады.
3. Взятие отсчётов и их запись в специальный журнал.

Круг лево и круг право (КЛ и КП)

Вертикальный круг при наблюдениях может занимать два положения относительно наблюдателя — круг лево (КЛ) и круг право (КП).

Измерения при КЛ и при КП называются полуприёмами, а их совокупность — полным приёмом:

\text{КЛ} + \text{КП} = \text{полный приём}

Запись измерений ведётся в журнал. Пример записи измерения горизонтального угла (направления на точки 1 и 3 со станции 2):

Вертикальные углы

При измерении вертикальных углов учитывают уровенные поверхности точек наблюдения (уровенная поверхность точки А и уровенная поверхность точки В), а сам вертикальный угол обозначается \nu.

Важно учитывать место нуля (место горизонта) — отсчёт по вертикальному кругу при горизонтальном положении визирной оси.

5. Определение плановых координат точек местности

Триангуляция

Триангуляция — способ передачи плановых координат, основанный на измерении внутренних углов в треугольниках.

Схема вычислений в треугольнике:

• Сумма внутренних углов треугольника равна 180°; для контроля правильности измеряются все три угла.
• По теореме синусов связывают стороны и углы:

\frac{S_{1-3}}{\sin\beta_2} = \frac{S_{1-2}}{\sin\beta_3}, \qquad S_{1-3} = \frac{\sin\beta_2 \cdot S_{1-2}}{\sin\beta_3}

• Из прямоугольного треугольника (по координатам опорного направления 1–2) решают обратную геодезическую задачу:

S_{1-2} = \sqrt{(\Delta Y_{1-2})^2 + (\Delta X_{1-2})^2}, \qquad \alpha_{1-2} = \operatorname{arctg}\frac{\Delta Y_{1-2}}{\Delta X_{1-2}}

• Дирекционный угол стороны 1–3:

\alpha_{1-3} = \alpha_{1-2} - \beta_1

• Прямая геодезическая задача — приращения координат и координаты точки 3:

\Delta X_{1-3} = S_{1-3}\cos\alpha_{1-3}, \qquad \Delta Y_{1-3} = S_{1-3}\sin\alpha_{1-3}

X_3 = X_1 + \Delta X_{1-3}, \qquad Y_3 = Y_1 + \Delta Y_{1-3}

Исходным («твёрдым») служит направление 1–2 с известными координатами точек X_1, Y_1 и X_2, Y_2.

Способы определения плановых координат. Геодезические засечки

Геодезические засечки — способ определения плановых координат одной точки по известным координатам нескольких точек в результате измерения углов или длин:

• если измеряются горизонтальные углы — угловые засечки;
• если измеряются расстояния — линейные засечки.

Различают прямую, обратную, линейную и комбинированную засечки.

Прямая засечка

Прямая засечка — определение плановых координат пункта по измерениям горизонтальных углов в направлении на него с трёх (и более) исходных пунктов с известными координатами. Координаты точки А находят по формулам Юнга:

x_A = \frac{x_2 \operatorname{ctg}\beta_1 + x_1 \operatorname{ctg}\beta_2 + (y_2 - y_1)}{\operatorname{ctg}\beta_1 + \operatorname{ctg}\beta_2}

y_A = \frac{y_2 \operatorname{ctg}\beta_1 + y_1 \operatorname{ctg}\beta_2 + (x_2 - x_1)}{\operatorname{ctg}\beta_1 + \operatorname{ctg}\beta_2}

Обратная засечка

Обратная засечка — определение плановых координат пункта по измерениям горизонтальных углов в направлениях с него на четыре (и более) пункта с известными координатами. Вычисления:

k_1 = (x_1 - x_2) + (y_1 - y_2)\operatorname{ctg}\beta_1 k_2 = (y_1 - y_2) - (x_1 - x_2)\operatorname{ctg}\beta_1 k_3 = (x_3 - x_2) - (y_3 - y_2)\operatorname{ctg}\beta_2 k_4 = (y_3 - y_2) + (x_3 - x_2)\operatorname{ctg}\beta_2 \operatorname{tg}\alpha_{2A} = \frac{k_3 - k_1}{k_2 - k_4} x_A = x_2 + \frac{k_1 + k_2 \operatorname{tg}\alpha_{2A}}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha_{2A}} y_A = y_2 + (x_A - x_2)\operatorname{tg}\alpha_{2A}

Линейная засечка

Линейная засечка — определение плановых координат пункта по измерениям расстояний от него до трёх (и более) пунктов с известными координатами. Координаты находят с помощью обратной геодезической задачи:

S_1^2 = (x_A - x_1)^2 + (y_A - y_1)^2 S_2^2 = (x_A - x_2)^2 + (y_A - y_2)^2

Комбинированная засечка

Комбинированная засечка объединяет измерения и углов, и расстояний (одновременно измеряются углы β1, β2 и расстояния S1, S2, S3).

6. Теодолитные ходы

Виды теодолитных ходов

Теодолитные ходы бывают:

• замкнутые;
• разомкнутые.

Измерения в теодолитном ходе

В ходе измеряются горизонтальные углы \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n (в замкнутом ходе — внутренние углы) и длины сторон S_{1-2}, S_{2-3}, \ldots, а также примычные углы \beta_{пр} для привязки хода к опорному направлению.

Для замкнутого хода:

• теоретическая сумма внутренних углов: \sum \beta_{т} = 180^\circ \cdot (n - 2), где n — число углов хода;
• фактическая сумма: \sum \beta = \beta_1 + \beta_2 + \ldots + \beta_n;
• угловая невязка: f_\beta = \sum \beta - \sum \beta_{т};
• допустимая угловая невязка: f_{\beta\,\text{доп}} = \pm 2m\sqrt{n}, где m — точность прибора, n — число углов хода.

Дирекционные углы и приращения

Дирекционные углы сторон хода вычисляют последовательно. Для примычного угла (начальный дирекционный угол стороны 1–2):

A_1 = A_{ТВ(\text{обр})} + 180^\circ + \beta_{пр}

Для последующих сторон:

A_{n+1} = A_n + 180^\circ - \beta_{n+1}

Приращения координат по стороне длиной S с дирекционным углом A:

\Delta X = S \cos A, \qquad \Delta Y = S \sin A

Обработка теодолитного хода (числовой пример)

Рассмотрим числовой пример обработки замкнутого хода из 5 вершин. Для углов хода:

• фактическая сумма углов \sum \beta_{факт} = 540^\circ 02′;
• теоретическая сумма \sum \beta_{теор} = 540^\circ 00′;
• угловая невязка f_\beta = 2′;
• допустимая невязка f_{\beta\,\text{доп}} = \pm 1′\sqrt{5} = \pm 2{,}2′ — невязка допустима.

Угловая невязка распределяется поровну — в каждый из 5 углов вводится поправка −0,4′. После увязки углов вычисляются дирекционные углы сторон и приращения \Delta X = S\cos A, \Delta Y = S\sin A. Получены невязки по осям: \sum \Delta x = +0{,}08, \sum \Delta y = -0{,}02.

Линейная невязка «разбрасывается» пропорционально длине стороны. Вводя поправки (для \Delta x: −0,01; −0,02; −0,02; −0,02; −0,01; для \Delta y: 0; +0,01; 0; +0,01; 0), получают исправленные приращения и координаты вершин:

Исправленные координаты замыкаются в исходную точку (1000,00; 2000,00), то есть суммы исправленных приращений равны нулю.

7. Трилатерация

Трилатерация — способ определения плановых координат, основанный на измерении длин сторон четырёхугольников.

Координаты определяют по схеме линейной засечки. Для контроля качества измерений измеряют все стороны и диагонали четырёхугольника.

← все материалы