Рельеф и нивелирование

Задание 3 · высоты: откуда их считают, как рисуют горизонталями и как измеряют нивелиром. Это третья координата точки — после X, Y из задания 1.

0. Где это в общей картине

Плановые координаты (X, Y) говорят, где точка. Но карта без высот — это плоская схема. Чтобы изобразить третий размер — рельеф — нужны две вещи: система высот (от какой поверхности считаем) и способ показать высоты на плоском листе (горизонтали). А чтобы высоты получить в поле, их измеряют нивелированием. Вся страница — об этом цикле: система высот → горизонтали → измерение превышений → невязки высотных ходов.

Параллель с плановыми координатами полная: у планового теодолитного хода — угловая и линейная невязки (задание 4), у высотного хода — высотная невязка fh = Σh_i (замкнутый ход). И там, и там: фактическая ≤ допустимая, распределение с обратным знаком.

1. Системы высот

Высота — это расстояние вдоль отвесной линии от точки до отсчётной уровенной поверхности. Какую поверхность взять — та и система:

Геоид (главная уровенная поверхность — уровень Мирового океана в спокойном состоянии, мысленно продолженный под материками) → ортометрическая высота.
Эллипсоид → геодезическая высота (вдоль нормали к эллипсоиду).
Квазигеоид (совпадает с геоидом на уровне моря, расходится на суше) → нормальная высота.

В России действует Балтийская система нормальных высот: ноль — «Кронштадтский футшток», метка на водомерном посту по среднему многолетнему уровню Балтики за 1825–1840 гг.

Превышение h — разность высот двух точек в одной системе; бывает положительным и отрицательным.

Уровенные поверхности: геоид, эллипсоид, квазигеоид — Уровенные поверхности не параллельны: сходятся у полюсов, расходятся к экватору; локальные искривления — от неравномерности внутриземных масс.

2. Горизонтали: как рельеф рисуют на плоскости

Горизонталь — линия равных высот: след сечения рельефа горизонтальной плоскостью, спроецированный ортогонально на плоскость. Расстояние между соседними секущими плоскостями — высота сечения рельефа h_c.

Нормальную высоту сечения считают по формуле (M — знаменатель масштаба):

$$h_c = 0{,}2 \cdot M \ \text{(мм)} \ \Rightarrow\ \text{для } 1{:}25\,000:\ h_c = 0{,}2 \cdot 25\,000 = 5\,000\ \text{мм} = 5\ \text{м}$$

Регулировка: равнинные (плоскоравнинные) территории — 2,5 м, высокогорье — 10 м. На карте высота сечения всегда написана: «Сплошные горизонтали проведены через … метров».

Основные горизонтали — сплошные, через h_c. Каждая пятая — утолщённая и подписывается (основанием цифр в сторону падения ската).
Полугоризонтали (дополнительные) — пунктир, с шагом h_c/2, для плоских участков.
Вспомогательные — произвольный шаг (1/3, 2/3 h_c), чтобы показать вершину или днище, которые иначе потеряются.
Бергштрихи — короткие штрихи вниз по склону; на замкнутых формах говорят, холм это (штрихи наружу... внутрь смотрим: повышение) или яма.

Виды горизонталей, бергштрихи, заложение — Рис. 2 из методички: бергштрихи показывают направление вниз по склону; изменение заложения — форму склона (прямой, вогнутый, выпуклый).

Заложение m — расстояние между соседними горизонталями в плане. Чем меньше заложение, тем круче склон. По рисунку горизонталей читаются холмы и ямы (замкнутые формы), долины и лощины. Главные орографические линии: тальвег — линия низа долины (дно русла), водораздел — линия, разделяющая сток противоположных склонов.

Тип 1 · Абсолютная высота точки по карте

Алгоритм

1.Точка на горизонтали → найдите высоту этой горизонтали от ближайшей подписанной (утолщённой), считая горизонтали с шагом h_c в сторону ската.

2.Точка между горизонталями → интерполяция по подобным треугольникам:

$$h_x = \frac{x}{m}\cdot h_c \qquad H_{\text{точки}} = H_{\text{младшей}} + h_x$$

x — расстояние в плане от младшей горизонтали до точки, m — заложение между младшей и старшей горизонталями.

Пример (методичка, рис. 3): h_c = 5 м

1.Точка 1 — на горизонтали, вторая от подписанной утолщённой (125 м) вверх по склону → 125 + 2·5 = 135 м.

2.Точка 2 — между горизонталями 120 и 125 м. Измерили x и m, h_x = (x/m)·5 → H₂ = 120 + h_x.

3.Точка 3 — внутри замкнутой горизонтали: интерполяция невозможна, берём ±h_c/2 от ближайшей по направлению ската.

Определение высот точек по горизонталям — Рис. 3 из методички: интерполяция высоты точки между горизонталями через подобные треугольники ABC и AB′C′.

Тип 2 · Уклон и крутизна ската

$$i = \frac{h}{m} \qquad \nu = \operatorname{arctg}\frac{h_c}{m}$$

i — уклон (доля или %: h = 10 м, m = 100 м → i = 0,1 = 10 %). ν — угол наклона. На карте под южной рамкой — график заложений: по нему крутизну снимают без вычислений.

Пример: h_c = 5 м, заложение m = 50 м

1.ν = arctg(5/50) = arctg 0,1 = 5,7° ≈ 10 %.

Тип 3 · Профиль и водосбор

Профиль — рельеф в вертикальной плоскости по заданной линии. Горизонтальный масштаб — масштаб карты; вертикальный — в 5–10 раз крупнее (иначе рельеф будет плоским). Строится так: на основание переносятся точки пересечения линии с горизонталями, от них восстанавливаются перпендикуляры на высоту точки, верхушки соединяются.

Водосборная площадь — участок, с которого вода стекает в данный водоток. Граница: от точки — перпендикуляры к ближайшим горизонталям (линии наибольшего ската) до водораздельной линии, дальше — по водоразделу. Площадь считают палеткой:

$$S = \left(n + \frac{n'}{2}\right)\cdot C$$

n — целые квадраты палетки в контуре, n′ — частичные, C — площадь квадрата на местности. Пример: карта 1 : 10 000, квадрат 1 мм² → C = 100 м².

Пример оформления профиля — Рис. 5 из методички: оформление профиля — расстояния и отметки под основанием, условный горизонт ниже самой низкой точки линии.

Построение контура водосбора — Рис. 6 из методички: чёрные линии — перпендикуляры (наибольший скат), красные — водораздельные линии, замыкающие контур водосбора.

3. Нивелирование: как превышения измеряют в поле

Способы нивелирования: геометрическое (горизонтальный луч нивелира по рейкам — самое точное), тригонометрическое (наклонный луч теодолита), барометрическое, гидростатическое. Первые два — рабочие; для них и существуют формулы и допуски.

Геометрическое нивелирование

Нивелир ставит горизонтальный луч; по двум рейкам берут отсчёты: a (задняя) и b (передняя).

$$h = a - b$$

Допустимая невязка хода (L — длина хода в км, D — «число класса»):

$$f_{h,\text{доп}} = \pm D\sqrt{L}\ \text{(мм)} \qquad \text{I класс: } 3\ \text{мм},\ \text{III: } 10\ \text{мм},\ \text{IV: } 20\ \text{мм}$$

Фактическая невязка замкнутого хода: f_h = Σh_i (должна быть ≤ допустимой). Разомкнутого: f_h = Σh_i − (H_кон − H_нач).

Пример (CSV): невязка 15 мм, IV класс, ход 490 м

1.f_доп = 20·√0,49 = 20·0,7 = 14 мм.

2.15 > 14 → превышает, нельзя. (В CSV: «да, доп. 14 мм» — «да» = превышает.)

Ещё (CSV): невязка −11 мм, III класс, ход 1490 м

1.f_доп = 10·√1,49 = 12,2 ≈ 12 мм.

2.|−11| ≤ 12 → не превышает, ход годен ✓

Тригонометрическое нивелирование (и тахеометрия)

Теодолитом измеряют вертикальный угол ν. Превышение по горизонтальному проложению L или по дальномерному расстоянию S:

$$h = L\,\operatorname{tg}\nu + i - U \qquad\qquad h = \tfrac{1}{2}S\sin 2\nu + i - U$$

i — высота инструмента, U — высота визирования (отсчёт по рейке). Поправка f (за кривизну/рефракцию) — при расстояниях свыше 300 м.

Допустимая невязка хода (P — длина хода в м, n — число станций):

$$f_{h,\text{доп}} = \pm\,0{,}04\cdot\frac{P}{100\sqrt{n}}\ \text{(м)}$$

Пример (CSV): ν = −5°, S = 50 м по нитяному дальномеру, i = 1,45 м, U = 1,55 м

1.h = ½·50·sin(−10°) + 1,45 − 1,55 = 25·(−0,1736) − 0,1 = −4,34 − 0,1 = −4,44 м ✓

Пример (CSV): ν = +15°, L = 78 м (горизонтальное проложение), i = 1,45 м, U = 2,5 м

1.h = 78·tg 15° + 1,45 − 2,5 = 78·0,2679 − 1,05 = 20,90 − 1,05 = 19,85 м ✓

Заметьте: если дано дальномерное S — формула с sin 2ν; если горизонтальное проложение L — с tg ν. Это разные «дистанции», не подставляйте одну вместо другой.

Пример (CSV): невязка 10 см, ход 490 м, 5 станций

1.f_доп = 0,04·490/(100·√5) = 0,04·490/223,6 = 0,088 м ≈ 9 см.

2.10 > 9 → превышает ✓

Пример (CSV): невязка 22 см, ход 1490 м, 6 станций

1.f_доп = 0,04·1490/(100·√6) = 0,04·14,9/2,449 = 0,243 м ≈ 24 см.

2.22 ≤ 24 → не превышает ✓

Потренируйся сам

Сечение 2,5 м: сколько метров между двумя соседними утолщёнными горизонталями? (5 горизонталей × 2,5 = 12,5 м)
Соответствия: геоид / квазигеоид / эллипсоид → ? (ортометрическая / нормальная / геодезическая высота)
Крутизна склона растёт — заложение? (уменьшается)
Бергштрихи внутрь замкнутой формы — это? (понижение — яма; штрихи направлены вниз по склону)
Вертикальный масштаб профиля? (в 5–10 раз крупнее горизонтального)
ν = 3°, S = 120 м, i = 1,40 м, U = 2,00 м → h? (½·120·sin 6° + 1,40 − 2,00 = 60·0,1045 − 0,60 = 5,67 м)
Невязка 30 мм, IV класс, ход 900 м? (доп = 20·√0,9 = 19 мм → превышает)

← все материалы