Теодолитный ход

Задание 4 · как от одной твердой точки разойтись по всей местности: углы → дирекционные углы → приращения → координаты, с двумя невязками на каждом шаге контроля.

0. Где это в общей картине

Теодолитный ход — это практическое применение сразу двух задач из задания 1: дирекционные углы и прямая геодезическая задача. Идея: между точками с известными координатами (твердыми) прокладываем ломаную по снятым точкам, измеряем все углы и длины — и последовательно вычисляем координаты каждой вершины. Вся математика хода — это цепочка «прямой геодезической задачи», а контроль качества — невязки (сравнение факта с теорией), те же самые, что и в высотных ходах (задание 3).

Словарь

Твердая точка — точка с известными координатами; твердое направление — линия между двумя твердыми точками (его дирекционный угол α_тв известен).
Замкнутый ход — начинается и заканчивается в одной твердой точке, опирается на одно твердое направление.
Примычный угол β_прим — горизонтальный угол между твердым направлением и первой стороной хода. В вариантах: β_прим = 100° + k, где k — номер варианта.
Измеряются: внутренние горизонтальные углы β многоугольника и горизонтальные проложения L сторон.

Твердая точка и твердое направление — Рис. 1 из методички: замкнутый ход на твердой точке, твердое направление и примычный угол.

1. Угловая часть: уравнять углы, получить дирекционные углы

$$\Sigma\beta_{\text{теор}} = 180°(n-2) \qquad f_\beta = \Sigma\beta_{\text{факт}} - \Sigma\beta_{\text{теор}} \qquad f_{\beta,\text{доп}} = \pm\,2c\sqrt{n}$$

n — число углов, c — инструментальная точность теодолита в секундах (4Т30П → 30″, Т15 → 15″). Если |f_β| ≤ |f_доп| — невязку распределяют с обратным знаком поровну на все углы; сумма исправленных углов обязана сойтись точно в 180°(n−2).

Дирекционные углы сторон: первый — от твердого направления через примычный угол, дальше — цепочкой (правые по ходу углы, ход по часовой стрелке):

$$\alpha_{1\text{-}2} = \alpha_{\text{тв}} + \beta_{\text{прим}} \qquad \alpha_n = \alpha_{n-1} + 180° - \beta_n$$

Если ход против часовой стрелки (левые углы): α_n = α_n−1 − 180° + β_n. Контроль: последний шаг должен заново дать α_1-2.

2. Линейная часть: приращения, невязки, уравнивание

$$\Delta X = L\cos\alpha \qquad \Delta Y = L\sin\alpha \qquad \text{(округлять до 0,01 м — это прямая задача из задания 1)}$$ $$f_x = \Sigma\Delta x \qquad f_y = \Sigma\Delta y \qquad f_{\text{абс}} = \sqrt{f_x^2 + f_y^2} \qquad f_{\text{отн}} = \frac{1}{\Sigma L / f_{\text{абс}}}$$

В замкнутом ходе теоретически ΣΔx = ΣΔy = 0 — всё, что набежало, и есть невязки. Допустимая относительная невязка зависит от прибора, которым мерили длины: землемерная лента — 1/2000, нитяной дальномер — 1/400.

Уравнивание приращений — пропорционально длине сторон (не поровну!):

$$\delta x_{1\text{-}2} = -f_x\cdot\frac{L_{1\text{-}2}}{\Sigma L} \qquad \delta y_{1\text{-}2} = -f_y\cdot\frac{L_{1\text{-}2}}{\Sigma L}$$

Сумма поправок по каждой оси обязана сойтись ровно в −f_x / −f_y. Затем исправленные приращения и координаты: X_n = X_n−1 + Δx_испр, Y_n = Y_n−1 + Δy_испр.

Схема теодолитного хода (бланк) — Схема хода из задания: измеренные углы, горизонтальные проложения и дирекционный угол твердого направления подписаны на схеме.

Тип · Проверка невязок хода (по CSV)

Пример 1 (CSV): теодолит 4Т30П, нитяной дальномер, 5 точек; Σβ = 540°02′, ΣΔx = 0,25 м, ΣΔy = −0,54 м, периметр 543 м

1.Σβ_теор = 180°·(5−2) = 540°00′ → f_β = +2′.

2.f_β,доп = 2·30″·√5 = 60″·2,236 = 134″ ≈ 2′14″. 2′ ≤ 2′14″ → угловая допустима ✓

3.f_абс = √(0,25² + 0,54²) = √0,354 = 0,595 м → f_отн = 0,595/543 ≈ 1/905.

4.Нитяной дальномер: доп. 1/400. 1/905 < 1/400 → линейная допустима ✓

Пример 2 (CSV): теодолит Т15, землемерная лента, 5 точек; Σβ = 540°01′, ΣΔx = 0,35 м, ΣΔy = −0,17 м, периметр 689 м

1.f_β = +1′; f_β,доп = 2·15″·√5 = 67″ ≈ 1′07″ → 1′ ≤ 1′07″ → угловая допустима ✓

2.f_абс = √(0,35² + 0,17²) = √0,1514 = 0,389 м → f_отн = 0,389/689 ≈ 1/1770.

3.Лента: доп. 1/2000. 1/1770 > 1/2000 (хуже) → линейная превышает, ход не годен ✓

Сравнение относительных невязок всегда «в дробях»: чем больше знаменатель, тем точнее. 1/1770 хуже, чем 1/2000.

Порядок заполнения бланка (весь алгоритм)

Перенести со схемы измеренные углы β и горизонтальные проложения L.
Σβ_теор = 180°(n−2); фактическая сумма; угловая невязка f_β; сравнить с 2c√n; уравнять углы (обратный знак, поровну).
β_прим = 100° + k (вариант); α_1-2 = α_тв + β_прим; цепочка α_n = α_n−1 + 180° − β_n; контроль — возврат к α_1-2.
Периметр ΣL; приращения ΔX = L·cos α, ΔY = L·sin α (до 0,01 м); суммы ΣΔx, ΣΔy.
f_абс = √(f_x²+f_y²); f_отн = 1/(ΣL/f_абс); сравнить с допустимой (лента 1/2000, дальномер 1/400).
Уравнять приращения пропорционально L; проверить Σδ = −f точно.
Координаты: X_n = X_n−1 + Δx_испр, Y_n = Y_n−1 + Δy_испр; контроль — возврат к координатам твердой точки.

Потренируйся сам

Ход по 4 точкам: Σβ_теор? (180°·(4−2) = 360°)
f_β = −1,5′, теодолит Т15, n = 5. Допустимо? (доп = 2·15″·√5 = 67″ ≈ 1,1′ → 1,5′ > 1,1′ → недопустима, ищите ошибку в измерениях)
f_x = 0,09 м, f_y = −0,12 м, ΣL = 450 м → f_отн? (f_абс = 0,15 м → 1/3000 — годно даже для ленты)
Сторона L = 100 м из 500 м периметра, f_y = −0,5 м: поправка δ_y? (−(−0,5)·100/500 = +0,10 м)
Почему поправки пропорциональны длинам сторон, а не поровну? (чем длиннее сторона, тем больше в неё «вложилось» погрешностей измерения длины)

← все материалы